సంగమగ్రామ మాధవుడు మరియు కేరళ పాఠశాల: పై, సైన్, ఆర్క్‌టాంజెంట్‌లకు అనంత శ్రేణులు, దశలవారీగా వివరణ

సంక్షిప్త సమాధానం: సుమారు 1400 ప్రాంతంలో, సంగమగ్రామ మాధవుడు కేరళలో సైన్, కొసైన్, ఆర్క్‌టాంజెంట్‌ల విస్తరణలకు సమానమైన అనంత శ్రేణులను కనుగొన్నారు. ఆర్క్‌టాంజెంట్ శ్రేణిలో x = 1 అని పెడితే pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... వస్తుంది, దీనిని ఇప్పుడు తరచుగా మాధవ-లైబ్నిజ్ శ్రేణి అని పిలుస్తారు. యూరప్ ఈ శ్రేణులను 1670లలో మళ్లీ కనుగొంది (గ్రెగరీ 1671, లైబ్నిజ్ 1673). మాధవుడి ప్రాధాన్యానికి బలమైన ఆధారాలు ఉన్నాయి; కానీ కేరళ ఫలితాలు యూరప్‌కు చేరాయనే ప్రజాదరణ పొందిన వాదనకు ప్రత్యక్ష ఆధారం లేదు.

మొదట ఒక ఆశ్చర్యకరమైన నిజం: చాలా మంది విద్యార్థులు లైబ్నిజ్ పేరుతో మొదట పరిచయం చేసుకునే శ్రేణిని, లైబ్నిజ్ 1673లో ప్రచురించడానికి రెండు శతాబ్దాలకు పైగా ముందే కేరళలో అధ్యయనం చేస్తున్నారు; దానిని కనుగొన్నట్లు గుర్తింపు పొందిన వ్యక్తి దానిపై ఒక్క గ్రంథం కూడా మిగల్చలేదు. ఆయన శిష్యులు, వారి శిష్యులు ఆ శ్రేణులను రాసి, వివరించి, వాటిని ఆయనకు ఆపాదించడం వల్లనే మాధవుడి శ్రేణులు మనకు తెలుసు. ఈ గైడ్ ఆధారాలతో నిర్ధారితమైన విషయాలను ప్రజాదరణ పొందిన వాదనల నుండి వేరు చేసి, మాధవుడు ఎలాంటి లెక్కలతో వ్యవహరించారో మీరు చూడగలిగేలా అసలు సంఖ్యలను లెక్కించి చూపిస్తుంది.

మాధవుడు ఎవరు? మూలాలు నిజంగా ఏం చెబుతున్నాయి

మాధవుడి కాలాన్ని సాంప్రదాయికంగా సుమారు 1340 నుండి సుమారు 1425 వరకు చెబుతారు, కానీ ఈ తేదీలకు ఖచ్చితమైన ఆధారం లేదు. ఆయన ఖగోళ గ్రంథం వేణ్వారోహ 1400 CE ను తన ప్రారంభ బిందువుగా (epoch) ఉపయోగిస్తుంది. మాక్‌ట్యూటర్ (MacTutor) 1350 నుండి 1425 అని ఇస్తుంది, గణిత శాస్త్రవేత్త డేవిడ్ మమ్‌ఫోర్డ్ ఆయన సుమారు 1350 నుండి 1425 వరకు జీవించారని చెబుతారు (మూలం: వి. ఎన్. కృష్ణచంద్రన్, arXiv:2405.11134, 2024).

ఆయన గ్రామం విషయంలో కూడా చర్చ ఉంది. సంగమగ్రామాన్ని సాధారణంగా కేరళలోని ఇరింజలకుడ (Irinjalakuda) గా గుర్తిస్తారు, కానీ కృష్ణచంద్రన్ "ఈ నమ్మకానికి పెద్దగా దృఢమైన ఆధారం లేదు" అని రాసి, నిలా నది ఒడ్డున ఉన్న కూడల్లూర్‌ను సూచిస్తారు. మాధవుడు కొచ్చిన్ సమీపంలో జన్మించారని మాక్‌ట్యూటర్ చెబుతుంది (మూలం: కృష్ణచంద్రన్, arXiv:2405.11134).

మాధవుడు కేరళ పాఠశాలను స్థాపించారు, కానీ శ్రేణులపై ఆయన గణిత రచనలేవీ మిగలలేదు. నీలకంఠుడు, జ్యేష్ఠదేవుడు ఈ శ్రేణులను ఆయనకు ఆపాదిస్తారు; ఆ పాఠశాల ఫలితాలలో "పెద్ద భాగాన్ని" తరువాతి రచయితలు మాధవుడికే ఆపాదించారని మమ్‌ఫోర్డ్ పేర్కొంటారు. ఆయనకు ఆపాదించిన ప్రతి శ్రేణీ ఆయనదేనా లేక ఆయన అనుచరుల నుండి వచ్చిందా అనే విషయంలో కొందరు చరిత్రకారులు జాగ్రత్తగా ఉంటారు (మూలం: మాక్‌ట్యూటర్, Madhava of Sangamagramma).

ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలుగా కేరళ పాఠశాల

వీరు గణిత-ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలు. వారి శ్రేణులు ఖగోళ గణనలకు ఉపయోగపడ్డాయి; అందుకే జ్యేష్ఠదేవుడి గొప్ప గ్రంథం యొక్క 2008 విమర్శనాత్మక సంపుటికి "Rationales in Mathematical Astronomy" (గణిత ఖగోళశాస్త్రంలో హేతువులు) అనే ఉపశీర్షిక ఉంది (మూలం: స్ప్రింగర్, గణిత-యుక్తి-భాష). మాధవుడి కృషిని కాపాడిన పరంపర కొన్ని ముఖ్యమైన పేర్ల ద్వారా సాగుతుంది:

1501 నాటి నీలకంఠుడి తంత్రసంగ్రహం ఆర్క్‌టాంజెంట్ శ్రేణిని నిరూపించి, ప్రాథమిక శ్రేణి కంటే వేగంగా కలిసే (converge) pi/4 కు అనేక శ్రేణులను జోడిస్తుంది; ఈ ఫలితాలు లైబ్నిజ్, గ్రెగరీల కంటే "దాదాపు మూడు వందల సంవత్సరాలు" ముందే కనిపిస్తాయని మాక్‌ట్యూటర్ పేర్కొంటుంది (మూలం: మాక్‌ట్యూటర్, Nilakantha Somayaji). సంస్కృత పద్యాలలో కాకుండా మలయాళంలో రాసిన జ్యేష్ఠదేవుడి గణిత-యుక్తిభాష ఈ శ్రేణుల నిరూపణలను ఇస్తుంది; దాని కాలాన్ని రకరకాలుగా సుమారు 1530, బహుశా సుమారు 1540, సుమారు 1550 అని చెబుతారు (మూలం: స్ప్రింగర్).

మూడు శ్రేణులు, ఆధునిక సంకేతాలలో

ఇప్పుడు మనం sin x, cos x, arctan x ల మెక్‌లారిన్ విస్తరణలు అని పిలిచే వాటికి సమానమైన అనంత శ్రేణులను మాధవుడు కనుగొన్నారు. యూరప్‌లో ఇవి రెండు శతాబ్దాలకు పైగా తరువాత మళ్లీ కనిపించాయి (మూలం: మాక్‌ట్యూటర్). ఆధునిక చిహ్నాలలో (మాధవుడు స్వయంగా ఫలితాలను ఈ సంకేతాలలో కాకుండా పద్యాలలో, మాటలలో వ్యక్తపరిచారు):

• సైన్: sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
• కొసైన్: cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
• ఆర్క్‌టాంజెంట్: arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ... (x విలువ -1 మరియు 1 మధ్య ఉన్నప్పుడు)

ఆర్క్‌టాంజెంట్ శ్రేణిలో x = 1 పెట్టండి. arctan 1 = pi/4 కాబట్టి, pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... వస్తుంది. మాధవుడి ప్రాధాన్యాన్ని గుర్తించడానికి ఇటీవలి సాహిత్యం దీనిని మాధవ-గ్రెగరీ లేదా మాధవ-న్యూటన్ శ్రేణి అని కూడా పిలుస్తుంది (మూలం: వికీపీడియా, Madhava series).

సోదాహరణ లెక్క: మాధవ-లైబ్నిజ్ శ్రేణి పదం పదంగా

రెండు వైపులా 4 తో గుణించండి: pi = 4 x (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...). ఇప్పుడు ఒక్కొక్క పదాన్ని జోడించండి. కింది విలువలను ఖచ్చితంగా లెక్కించి ఆరు దశాంశ స్థానాలకు సవరించాం; ఆరు దశాంశ స్థానాల వరకు pi విలువ 3.141593.

రెండు విషయాలు వెంటనే కనిపిస్తాయి. మొదటిది, మొత్తాలు pi కి పైకీ కిందకీ ఊగుతాయి, ఒకసారి ఎక్కువై ఒకసారి తక్కువవుతాయి. రెండవది, శ్రేణి చాలా నెమ్మదిగా ఉంటుంది: 10,000 పదాల తరువాత కూడా మీకు నాలుగు సరైన దశాంశ స్థానాలు మాత్రమే వస్తాయి, ప్రతి అదనపు సరైన అంకెకు దాదాపు పది రెట్లు ఎక్కువ పదాలు కావాలి. సాధారణ ఖచ్చితత్వానికి కూడా "చాలా పెద్ద సంఖ్యలో పదాలు" అవసరమని కృష్ణచంద్రన్ పేర్కొంటారు (మూలం: కృష్ణచంద్రన్, arXiv:2405.11134).

ఈ నెమ్మదితనాన్ని మాధవుడు ఎలా అధిగమించారు

సవరణ పదాలు. శ్రేణిని ఒక చోట ఆపిన తరువాత మిగిలిన భాగాన్ని (tail) అంచనా వేయడానికి మాధవుడు సవరణ పదాలను జోడించారు. ఆయనకు ఆపాదించిన మూడు సవరణ పదాలు అత్యంత ఖచ్చితమైన విలువలను ఇస్తాయి. వాటికి కేరళ రచయితలు ఇచ్చిన కారణాలు ఆధునిక ప్రమాణాలను పూర్తిగా సంతృప్తిపరచవని కృష్ణచంద్రన్ నిర్ధారిస్తారు; ఈ సవరణలు కంటిన్యూడ్ ఫ్రాక్షన్ల నుండి వచ్చి ఉండవచ్చని మాక్‌ట్యూటర్ సూచిస్తుంది (మూలం: కృష్ణచంద్రన్). సవరణ ఎందుకు పనిచేస్తుందో పై పట్టికే సూచిస్తుంది: n పదాల తరువాత దోషం 1/n కు చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది (10,000 పదాల తరువాత 0.0001), కాబట్టి బాగా ఎంచుకున్న అంచనా దానిలో చాలా భాగాన్ని తొలగిస్తుంది.

వేగవంతమైన శ్రేణి. 12 యొక్క వర్గమూలం ఆధారంగా ఉన్న వేగవంతమైన శ్రేణిలోని 21 పదాలను ఉపయోగించి, 11 దశాంశ స్థానాల వరకు సరైన pi విలువ 3.14159265359 ను మాధవుడికి ఆపాదిస్తారు (మూలం: మాక్‌ట్యూటర్). కొన్ని ద్వితీయ మూలాలు 13 దశాంశ స్థానాల విలువ 3.1415926535922 ను పేర్కొంటాయి, కాబట్టి ఖచ్చితమైన సంఖ్య ఏ గ్రంథాన్ని అనుసరిస్తామనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ ఆలోచనను మీరే pi = sqrt(12) x (1 - 1/(3x3) + 1/(5x3^2) - 1/(7x3^3) + ...) అనే శ్రేణితో పరీక్షించవచ్చు; ఇది అదే ఆర్క్‌టాంజెంట్ శ్రేణిలో x = 1/sqrt(3) పెడితే వస్తుంది:

21 పదాలతో దోషం సుమారు ఆరు ట్రిలియన్ల వంతు, ఇది 11 సరైన దశాంశ స్థానాలకు సరిపోతుంది. పైన నాలుగు దశాంశ స్థానాలకు అవసరమైన 10,000 పదాలతో దీనిని పోల్చండి. మరిన్ని పదాలను కష్టపడి లెక్కించడం కంటే తెలివైన శ్రేణిని ఎంచుకోవడం అనేది సంఖ్యా గణనలో ఇప్పటికీ వర్తించే పాఠం: ముడి శ్రమ కంటే కలిసే వేగమే (speed of convergence) ముఖ్యం.

ఆ తర్కం ఎంత బలమైనది? చరిత్రకారులు ఏం చెబుతున్నారు

మమ్‌ఫోర్డ్ కేరళ పాఠశాల పద్ధతులను "రికర్షన్, ఇండక్షన్, లిమిట్‌కు జాగ్రత్తగా చేరడం" అని వర్ణించి, మాధవుడిని న్యూటన్, లైబ్నిజ్‌లతో పోల్చడం "న్యాయమే" అని భావిస్తారు. యుక్తిభాషలోని సైన్ శ్రేణి నిరూపణ "పూర్తిగా సరైనది" కానీ "ఆధునిక ప్రమాణాల ప్రకారం కఠినమైన రుజువు కాదు" అని ఆయన తీర్పు ఇస్తూ, ప్రామాణిక ఎప్సిలాన్-డెల్టా పద్ధతులతో దానిని కఠినంగా మార్చవచ్చని జోడిస్తారు (మూలం: డేవిడ్ మమ్‌ఫోర్డ్, Notices of the AMS, 2010).

యూరోపియన్ గణిత శాస్త్రవేత్తలు తరువాత మళ్లీ కనుగొన్న అనంత శ్రేణులు, ఇన్ఫినిటెసిమల్ పద్ధతులపై ముఖ్యమైన ఫలితాలకు కేరళ పాఠశాల కారణమని కిమ్ ప్లోఫ్కర్ వర్ణిస్తారు. ఈ పాఠశాల 19వ శతాబ్దం మధ్యలో యూరోపియన్ చరిత్రకారులకు మొదట తెలిసిందని ఆమె చెబుతారు, కాగా ఇతర మూలాలు సి. ఎం. విష్ 1834 నాటి పత్రాన్ని మొదటి పాశ్చాత్య ప్రస్తావనగా సూచిస్తాయి (మూలం: కిమ్ ప్లోఫ్కర్, Aestimatio 10, 2013).

అపోహ vs నిజం: కేరళ యూరప్‌కు కాలిక్యులస్‌ను ఇచ్చిందా?

ఇక్కడే ఉత్సాహం తరచుగా ఆధారాల కంటే ముందు పరుగెడుతుంది. అసలు విజయానికి అతిశయోక్తి అవసరం లేదు.

పట్టికకు మూలాలు: మూలం: కిమ్ ప్లోఫ్కర్, Aestimatio 10 (2013); మూలం: యూనివర్సిటీ ఆఫ్ మాంచెస్టర్ వార్తా ప్రకటన (2007); మూలం: డేవిడ్ మమ్‌ఫోర్డ్, Notices of the AMS (2010). ఇరు పక్షాలకూ న్యాయం చేయాలంటే: పశ్చిమం నుండి తూర్పుకు ప్రసారం కంటే తూర్పు నుండి పశ్చిమానికి ప్రసారానికి చరిత్రకారులు ఎక్కువ స్థాయి రుజువును కోరుతున్నారని జోసెఫ్ వాదిస్తారు, కాగా చేతివృత్తుల వారు లేదా నావికుల ద్వారా పరోక్ష ప్రసారం జరిగిందనే మిగిలిన ఆలోచనను ప్లోఫ్కర్ "చాలా అస్పష్టమైన, ఊహాజనిత అంచనా" అని పిలుస్తారు.

మాధవుడు ఇప్పటికీ ఎందుకు ముఖ్యం

• ప్రాధాన్యం నిజమైనది: సైన్, కొసైన్, ఆర్క్‌టాంజెంట్ శ్రేణులు, pi/4 శ్రేణి సుమారు 1400 ప్రాంతంలోనే కేరళలో తెలుసు, అంటే యూరప్ కంటే దాదాపు 250 నుండి 300 సంవత్సరాల ముందు.
• పద్ధతి స్ఫూర్తిలో ఆధునికమైనది: అనంతమైన పదాలను కూడటం, మిగిలిన భాగాన్ని అంచనా వేయడం, జాగ్రత్తగా లిమిట్‌లు తీసుకోవడం విశ్లేషణ (analysis) యొక్క ప్రధాన ఆలోచనలు.
• పాఠం ఆచరణాత్మకమైనది: నెమ్మదైన శ్రేణి సరిపోదని గ్రహించి మాధవుడు సవరణలు, వేగవంతమైన శ్రేణుల కోసం వెతికారు; ప్రతి సమర్థవంతమైన సంఖ్యా పద్ధతి వెనుక ఉన్నది ఇదే ప్రవృత్తి.
• గ్రంథాలు చదవదగినవి: యుక్తిభాష ఫలితాలు ఏమిటో మాత్రమే కాకుండా అవి ఎందుకు నిజమో వివరిస్తుంది, దానికి ఆంగ్ల అనువాదం కూడా ఉంది.

విజ్ఞాన శాస్త్ర చరిత్రలో భారతదేశ స్థానం గురించి పిల్లలకు నేర్పించే కుటుంబాలకు మాధవుడు ఒక ఆదర్శ ఉదాహరణ: నిపుణుల పరిశీలనకు నిలబడే, ఆధారాలతో కూడిన, పరీక్షించదగిన విజయం. దీనితో పాటు ఈ కథలనూ చెప్పండి: పింగళుడు మరియు బైనరీ వంటి గణన మరియు పాణిని వ్యాకరణం.

తరచుగా అడిగే ప్రశ్నలు

సంగమగ్రామ మాధవుడు ఎవరు?

కేరళకు చెందిన గణిత-ఖగోళ శాస్త్రవేత్త. సాంప్రదాయికంగా ఆయన కాలాన్ని సుమారు 1340 నుండి సుమారు 1425 వరకు చెబుతారు, అయితే ఈ తేదీలు అనిశ్చితం. చరిత్రకారులు కేరళ పాఠశాల అని పిలిచే సంప్రదాయాన్ని ఆయన స్థాపించారు. శ్రేణులపై ఆయన స్వయంగా రాసిన రచనలేవీ మిగలలేదు; నీలకంఠ సోమయాజి, జ్యేష్ఠదేవుడు వంటి ఆ పాఠశాల తరువాతి సభ్యుల ద్వారానే ఆయన ఫలితాలు మనకు తెలుసు.

మాధవ-లైబ్నిజ్ శ్రేణి అంటే ఏమిటి?

అది pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ..., అంటే x = 1 వద్ద ఆర్క్‌టాంజెంట్ శ్రేణి విలువ. గ్రెగరీ (1671), లైబ్నిజ్ (1673) కంటే సుమారు 250 నుండి 300 సంవత్సరాల ముందే మాధవుడికి ఇది తెలుసని గుర్తిస్తూ, ఇటీవలి సాహిత్యంలో దీనిని మాధవ-గ్రెగరీ లేదా మాధవ-న్యూటన్ శ్రేణి అని కూడా పిలుస్తారు.

మాధవుడు కాలిక్యులస్‌ను కనిపెట్టారా?

ఆయన, ఆయన పాఠశాల సైన్, కొసైన్, ఆర్క్‌టాంజెంట్‌లకు అనంత శ్రేణులను కనుగొని, లిమిట్ ఆధారిత తర్కాన్ని ఉపయోగించారు. మాధవుడిని న్యూటన్, లైబ్నిజ్‌లతో పోల్చడం న్యాయమేనని మమ్‌ఫోర్డ్ భావిస్తారు, కానీ కేరళ గ్రంథాలలో పూర్తి ఆధునిక లాంఛనప్రాయ కాలిక్యులస్ లేదు, వాటి నిరూపణలు ఆధునిక ప్రమాణాల ప్రకారం కఠినమైన రుజువులు కావు.

కేరళ పాఠశాల ఫలితాలను యూరప్ కాపీ చేసిందా?

ప్రత్యక్ష ఆధారం ఏదీ లేదు. 2009లో నివేదించిన యూరోపియన్ జెస్యూట్ ఆర్కైవ్‌ల శోధనలో ప్రసారానికి ప్రత్యక్ష ఆధారం దొరకలేదు. ప్రామాణిక చరిత్ర గ్రంథాలు మాధవుడి ప్రాధాన్యాన్ని గుర్తిస్తూనే, 1670లలోని యూరోపియన్ ఫలితాలను స్వతంత్ర పునఃఆవిష్కరణలుగా పరిగణిస్తాయి.

మాధవుడి పై విలువ ఎంత ఖచ్చితమైనది?

12 యొక్క వర్గమూలం ఆధారంగా ఉన్న వేగవంతమైన శ్రేణిలోని 21 పదాలను ఉపయోగించి, 11 దశాంశ స్థానాల వరకు సరైన 3.14159265359 విలువను ఆయనకు ఆపాదిస్తారు. కొన్ని ద్వితీయ మూలాలు 13 దశాంశ స్థానాల విలువను పేర్కొంటాయి, కాబట్టి ఖచ్చితమైన సంఖ్య ఏ గ్రంథాన్ని అనుసరిస్తామనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

కేరళ పాఠశాల నిరూపణలను నేను ఎక్కడ చదవవచ్చు?

మలయాళంలో రాసిన జ్యేష్ఠదేవుడి గణిత-యుక్తిభాష ఈ నిరూపణలను ఇస్తుంది. కె. వి. శర్మ ఆంగ్ల అనువాదంతో, కె. రామసుబ్రమణియన్, ఎం. డి. శ్రీనివాస్, ఎం. ఎస్. శ్రీరామ్‌ల వ్యాఖ్యలతో కూడిన విమర్శనాత్మక సంపుటిని 2008లో స్ప్రింగర్ (Springer), హిందుస్తాన్ బుక్ ఏజెన్సీ ప్రచురించాయి.

సంబంధిత గైడ్‌లు

• పాణిని సంస్కృత వ్యాకరణం మరియు కంప్యూటర్ సైన్స్
• పింగళుడు, బైనరీ సంఖ్యలు మరియు మేరు ప్రస్తారం
• వేద గణితం: అపోహ vs నిజం
• NASA-సంస్కృతం కంప్యూటర్ అపోహ మరియు రిక్ బ్రిగ్స్ (1985)
• హిందువుల కోసం క్వాంటం కంప్యూటింగ్ వివరణ, వేదాంత ఉపమానాలతో
• 2026లో AI మరియు సంస్కృత పునరుజ్జీవనం

సంపాదకుని గమనిక (9 అక్టోబర్ 2026)

ఈ పేజీలోని ప్రతి చారిత్రక తేదీ, పేరు, ఉల్లేఖనం పాఠ్యంలో లింక్ చేసిన మూలాల నుండి తీసుకున్నవే: మాక్‌ట్యూటర్ (యూనివర్సిటీ ఆఫ్ సెయింట్ ఆండ్రూస్), వి. ఎన్. కృష్ణచంద్రన్ 2024 arXiv పత్రం, Notices of the AMS లో డేవిడ్ మమ్‌ఫోర్డ్ 2010 సమీక్ష, కిమ్ ప్లోఫ్కర్ 2013 సమీక్ష, గణిత-యుక్తిభాష యొక్క 2008 స్ప్రింగర్ సంపుటి, 2007 యూనివర్సిటీ ఆఫ్ మాంచెస్టర్ ప్రకటన. మూలాల మధ్య భిన్నాభిప్రాయాలు ఉన్న చోట (మాధవుడి కాలం, జన్మస్థలం, యుక్తిభాష కాలం, మొదటి పాశ్చాత్య ప్రస్తావన, దశాంశ స్థానాల సంఖ్య) ప్రతి రూపాన్నీ ఇచ్చాం. రెండు పట్టికలలోని పాక్షిక మొత్తాలను మేమే లెక్కించాం, వాటిని ఏ కాలిక్యులేటర్‌తోనైనా సరిచూసుకోవచ్చు.

చిత్ర సౌజన్యం: Ms Sarah Welch, CC BY-SA 4.0, వికీమీడియా కామన్స్ ద్వారా (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:16th_century_Vedas_palm_leaf_manuscript,_Malayalam_Script,_Sanskrit,_Kerala.jpg).